题目内容
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出F点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将点A(1,0),B(2,0),C(0,-2)代入二次函数y=ax2+bx+c中,列方程组求a、b、c即可;
(2)因为D、O分别为两个直角三角形的顶点,可分为△EDB∽△AOC,△BDE∽△AOC两种情况,利用相似比求ED,确定E点坐标;
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,分为①当点E1的坐标为(m,
)时,点F1的坐标为(m-1,
),②当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),两种情况,分别代入抛物线解析式求m的值,确定F点的坐标.
(2)因为D、O分别为两个直角三角形的顶点,可分为△EDB∽△AOC,△BDE∽△AOC两种情况,利用相似比求ED,确定E点坐标;
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,分为①当点E1的坐标为(m,
2-m |
2 |
2-m |
2 |
解答:解:(1)将点A(1,0),B(2,0),C(0,-2)代入二次函数y=ax2+bx+c中,得
解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x2+3x-2.(2分)
(2)∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
当△EDB∽△AOC时,得
=
,
即
=
,解得ED=
,
∵点E在第四象限,
∴E1(m,
),
当△BDE∽△AOC时,
=
时,即
=
,
解得ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E2(m,4-2m);
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则
EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E1的坐标为(m,
)时,点F1的坐标为(m-1,
),
∵点F1在抛物线的图象上,
∴
=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴2m2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
,m=2(舍去),
∴F1(
,-
),
当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴m2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,-6).
|
解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x2+3x-2.(2分)
(2)∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
当△EDB∽△AOC时,得
AO |
ED |
CO |
BD |
即
1 |
ED |
2 |
m-2 |
m-2 |
2 |
∵点E在第四象限,
∴E1(m,
2-m |
2 |
当△BDE∽△AOC时,
AO |
BD |
CO |
ED |
1 |
m-2 |
2 |
ED |
解得ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E2(m,4-2m);
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则
EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E1的坐标为(m,
2-m |
2 |
2-m |
2 |
∵点F1在抛物线的图象上,
∴
2-m |
2 |
∴2m2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
7 |
2 |
∴F1(
5 |
2 |
3 |
4 |
当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴m2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,-6).
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是求二次函数解析式,利用相似三角形,平行四边形的性质,列方程求解.
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