题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连接EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连接BP,交CE于点H.

(1)若∠PBA:∠PBC=1:2,判断△PBC的形状并说明;

(2)求证:四边形AECF为平行四边形.

【答案】(1)△PBC是等边三角形,(2)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)根据矩形得出∠ABC=90°,求出∠OBC=60°,根据折叠得出PC=BC,根据等边三角形的判定得出即可;

(2)根据折叠得出BE=PE,求出∠1=∠2,求出AE=PE,推出∠3=∠4,根据三角形内角和定理求出∠2+∠3=90°,求出AF∥CE,根据平行四边形的判定得出即可.

试题解析:(1)△PBC是等边三角形,

理由是:在矩形ABCD中,∠ABC=90°,

∵∠PBA:∠PBC=1:2,

∴∠OBC=60°,

∵沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,

∴PC=BC,

∴△PBC是等边三角形;

(2)

∵根据折叠得出△EBC≌△EPC,

∴BE=PE,

∴∠1=∠2,

∵E为AB的中点,

∴BE=AE,

∴AE=PE,

∴∠3=∠4,

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,

∴∠2+∠3=90°,

∴BP⊥AF,

∵对折矩形ABCD,

∴BP⊥CE,

∴AF∥CE,

∵根据矩形ABCD得:AE∥CF,

∴四边形AECF为平行四边形.

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