Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]=4，[-4.3]=-5．
（1）下列各式正确的是（　　）
A．[x]=|x|B．[x]=|x|-1    C．[x]=-x    D．[x]≤[x]+1
（2）解方程：[2x+1]=x-

1

3

（3）已知x，满足方程组

y=2[x]+3 y=3[x-2]+5

，如果x不是整数，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据[x]表示不超过x的最大整数对各选项进行逐一判断即可．
（2）在一个方程中有些变量在取整符号中，有些变量在取整符号外，这类方程一般要利用不等式[2x]≤2x＜[2x]+1，求出[2x]的范围，然后再代入原方程求出x的值
（3）首先利用原方程变形，将3[x-2]变为3[x]-6，得出有关y与[x]的方程，求出y与[x]，得出x+y的取值范围．

解答：（1）解：A、当x等于负整数时，[x]=-x，故本选项错误；
B、当x等于正整数时，[x]=x，[x]≠|x|-1，故本选项错误；
C、当x等于正整数时，[x]=x，故本选项错误；
D、根据等式的性质得出[x]≤[x]+1，故本选项正确．
故选D．

（2）解：∵[2x+1]=x-

1

3

，
∴[2x]=x-

4

3

，
令[2x]=n，代入原方程得n=x-

4

3

，即x=n+

4

3

．
又∵[2x]≤2x＜[2x]+1，∴n≤2n+

8

3

＜n+1．
整理得：-

8

3

≤n＜-

5

3

，
∴n=-2．
代入原方程得-2=x-

4

3

，
解得：x=-

2

3

．

（3）解：由原方程组

y=2[x]+3 y=3[x-2]+5

，
可得原方程即为：

y=2[x]+3 y=3[x]-1

②-①得：
解得：[x]=4，y=11，
∴[x]+y=15，
∴15＜x+y＜16．

点评：此题考查了取整函数的定义和性质，根据取整函数的概念判断出各数的大小以及将3[x-2]变为3[x]-6整理为y与[x]的方程是解决问题的关键．