Question

【题目】定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．

（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；

（2）下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）

①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．

（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．

①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；

②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①②③④；（3）①证明见解析；②

【解析】

（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；

（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；

（3）①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，则证明了准菱形ACEF是平行四边形，又因为AC＝EC即可得出准菱形ACEF是菱形；

②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD＝30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．

（1）；

（2）①因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；

②因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；

③因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；

④因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；

故答案为：①②③④；

（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，

∴△ACF≌△ECF（SSS）．

∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，

∵∠ACE＝∠AFE，

∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，

∴AC∥EF，AF∥CE，

∴准菱形ACEF是平行四边形，

∵AC＝EC，

∴准菱形ACEF是菱形；

②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，

∵四边形ACEF是菱形，

∴AE⊥CF，∠ADC=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，

∵∠ACB=15°，

∴∠AMB=30°，

∵∠ACD=30°，

∴∠AMD=60°，

∴∠BMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴BM=DM=BD=×=1，

∴AC=2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°=，

∴菱形ACEF的面积=×1××4=．