Question

（2012•保定二模）（1）如图1所示，△ABC是正三角形，E，D分别是以C为顶点的CB和AC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；
（2）若将（1）中正△ABC改成正四边形ABCM，如图2 所示，E，D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；
（3）若将（2）中正△ABC改成正五边形ABCMN，如图3 所示，其它条件均不变，则∠AFB的度数为

108°

；
（4）若将（1）中正△ABC改成正n边形ABCM…N，如图4所示，其它条件均不变，根据（1），（2），（3）中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数，并说明理由．
（5）若将（2）中正四边形ABCM改成正六边形ABCMKN，其它条件均不变，则∠AFB的度数为

120°

．

Answer 1

分析：（1）可通过证三角形AEB和BDC全等得出∠E=∠D，再根据∠EBF=∠CBD，那么这两个三角形的外角∠AFB，∠ACB就应该相等．从而得出∠AFB的度数．
（2）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．
（3）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．
（4）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为=

(n-2)×180°

n

；
（5）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．

解答：解：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）在正四边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=90°；

（3）在正五边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=108°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=108°．
故答案为：108°；

（4）结论：∠AFB=∠MCB=

(n-2)×180°

n

在正n边形ABCM…N中，
∠ABC=∠MCB=

(n-2)×180°

n

，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=

(n-2)×180°

n

；

（5）由（1）同理即可得出：∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=120°．
故答案为：120°．

点评：此题主要考查了正三角边形，正四边形的性质，正五边形的性质与等边三角形与相似三角形的性质以及规律问题应用，利用三角形全等得出角之间关系是解题关键．