题目内容
将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形(如图所示),记为第一次操作,然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片,记为第二次操作,如此循环进行下去.请将下表中空缺的数据填写完整,并解答所提出的问题:
(1)如果剪100次,共能得到 个正方形;
(2)如果剪n次共能得到bn个正方形,试用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系 ;
(3)若原正方形的边长为1,设an表示第n次所剪的正方形的边长,试用含n的式子表示an ;
(4)试猜想a1+a2+a3+a4+…+an-1+an与原正方形边长的数量关系,并用等式写出这个关系 .
操作次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
正方形个数 | 4 | 7 | … |
(2)如果剪n次共能得到bn个正方形,试用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系
(3)若原正方形的边长为1,设an表示第n次所剪的正方形的边长,试用含n的式子表示an
(4)试猜想a1+a2+a3+a4+…+an-1+an与原正方形边长的数量关系,并用等式写出这个关系
考点:规律型:图形的变化类
专题:
分析:(1)观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形,据此填表即可;
(2)根据得到的规律得到通项公式,然后代入求值即可;
(3)根据每次将边长一分为二即可得到答案;
(4)利用发现的规律,代入数值即可求得答案.
(2)根据得到的规律得到通项公式,然后代入求值即可;
(3)根据每次将边长一分为二即可得到答案;
(4)利用发现的规律,代入数值即可求得答案.
解答:解:观察图形知道:剪一次,有4个小正方形,
剪两次有7个小正方形,
剪三次有10个小正方形,
剪四次有13个小正方形,
规律:每多剪一刀就会增加3个小正方形,
故第n个共有4+3(n-1)=3n+1个,
(1)令n=100得3n+1=3×100=301;
(2)剪n次共能得到bn个正方形,则用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系为bn=3n+1;
(3)第一次所剪的正方形的边长为
,
第二次所剪的正方形的边长为(
)2;
第三次所剪的正方形的边长为(
)3,
…
第n次所剪的正方形的边长an=(
)n;
(4)a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=
+(
)2+(
)3+…+(
)n=1-(
)n
故答案为:(1)301;(2)bn=3n+1;(3)an=(
)n;(4)1-(
)n.
剪两次有7个小正方形,
剪三次有10个小正方形,
剪四次有13个小正方形,
规律:每多剪一刀就会增加3个小正方形,
故第n个共有4+3(n-1)=3n+1个,
(1)令n=100得3n+1=3×100=301;
(2)剪n次共能得到bn个正方形,则用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系为bn=3n+1;
(3)第一次所剪的正方形的边长为
1 |
2 |
第二次所剪的正方形的边长为(
1 |
2 |
第三次所剪的正方形的边长为(
1 |
2 |
…
第n次所剪的正方形的边长an=(
1 |
2 |
(4)a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
故答案为:(1)301;(2)bn=3n+1;(3)an=(
1 |
2 |
1 |
2 |
点评:本题考查了图形的变化类问题,找到规律并用通项公式表示出来是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A、
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