Question

如图：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F.

(1)求证：BE=CF；
(2)设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为5．

试题分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；
（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．
试题解析：(1)连接DE、DF，
∵AB=AC,AD⊥BC，
∴∠B＝∠C,BD=CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴△DBE≌△DCF，
∴BE=CF；
(2)∵BE=CF，
∴AE=AF，
且∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴设AG=8x,AD=10x，
连接EO，在Rt△OEG中，
∴OE²=OG²+EG²，
∴(5x)²=(3x)²+4²，
x=1，
∴5x=5，
∴⊙O的半径为5．