题目内容

如图1，已知抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的 $数学公式$ ？

解：（1）∵OB=2OA=4，
∴OA=2，
∴点A（-2，0），B（4，0），
把点A、B的坐标代入抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的函数表达式为y= $\text{[math]}$ x²-x-4；

（2）抛物线对称轴为x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =1，
设点P坐标为（x， $\text{[math]}$ x²-x-4），
∵⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切，
∴|x-1|=| $\text{[math]}$ x²-x-4|，
即x-1= $\text{[math]}$ x²-x-4①或x-1=-（ $\text{[math]}$ x²-x-4）②，
解方程①，整理得，x²-4x-6=0，
解得x₁=2+ $\text{[math]}$ ，x₂=2- $\text{[math]}$ ，
当x₁=2+ $\text{[math]}$ 时，y₁=2+ $\text{[math]}$ -1=1+ $\text{[math]}$ ，
当x₂=2- $\text{[math]}$ 时，y₂=2- $\text{[math]}$ -1=1- $\text{[math]}$ ，
此时点P的坐标为（2+ $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ）或（2- $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ），
解方程②，整理得，x²-10=0，
解得x₃= $\text{[math]}$ ，x₄=- $\text{[math]}$ ，
当x₃= $\text{[math]}$ 时，y₃=1- $\text{[math]}$ ，
当x₄=- $\text{[math]}$ 时，y₄=1+ $\text{[math]}$ ，
此时，点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ），
综上所述，点P的坐标为（2+ $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ）或（2- $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ）；

（3）抛物线解析式当x=0时，y=-4，
所以，点C的坐标为（0，-4），
又∵AB=OA+OB=2+4=6，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×6×4=12，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线AC的解析式为y=-2x-4，
∵点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
∴AE=t，点E的坐标为（-2+t，0），
∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图，过点F作FM⊥x轴于点M，
∵点F从点B出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点C运动，
∴BF= $\text{[math]}$ t，
∴BM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t=t，
∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
即点F到EG的距离为（6-2t），
∴S_△EFG= $\text{[math]}$ ×|-2t|×（6-2t）=-2t²+6t，
又△EFG的面积是△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ，
∴-2t²+6t= $\text{[math]}$ ×12，
整理得，t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2，
∴当t为1秒或2秒时，△EFG的面积是△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴为x=1，并根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后根据点P到直线x=1与x轴的距离相等列出方程，再解绝对值方程即可得解；
（3）根据抛物线解析式求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，并利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，判断出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出点E的坐标，从而求出EG的长度，过F作FM⊥x轴于点M，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EM的长度，即△EFG边EG上的高，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与一次函数解析式），直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．