Question

如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE=1，BE=2．点F在边BC的延长线上，且CF=BC；P是边BC上的动点（与点B不重合），PQ⊥EF，垂足为O，并交边AD于点Q；QH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△QPH∽△FEB；
（2）设BP=x，EQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）试探索△PEQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，请求出x的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证△QPH∽△FEB，通过相似三角形的判断证明∠F=∠PQH，∠QHP=∠B=90°即可；
（2）求y关于x的函数解析式，可以转化到Rt△AEQ中，求出BP与AQ的关系，根据勾股定理得出；
（3）探索△PEQ是否可能成为等腰三角形，根据等腰三角形的判定分别列出函数关系式，求出x的值．

解答：证明：（1）∵PQ⊥EF，
∴∠F=90°-∠QPH，（1分）
∵QH⊥BC，
∴∠PQH=90°-∠QPH，
∴∠F=∠PQH，（1分）
∵在正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠QHP=∠B=90°，
∴△QPH∽△FEB．（1分）

（2）解：∵△QPH∽△FEB，
∴

PH

EB

=

QH

FB

，（1分）
又∵QH=AB=BC=CF，
∴PH=

1

2

EB=1，（1分）
∴AQ=BH=BP+PH=x+1，（1分）
在Rt△AEQ中，y=EQ=

AE2+AQ2

=

12+(x+1)2

，（1分）
∴函数解析式为y=

x2+2x+2

，其定义域为0＜x≤2．（1分）

（3）解：△PEQ可能成为等腰三角形，
∵PH=1，HQ=AB=3，
∴PQ=

10

，
∵BE=2，BP=x，
∴EP=

x2+4

（1分），
（1）当x满足

x2+4

=

x2+2x+2

且0＜x≤2时，EP=EQ，解得x=1；（1分）
（2）当x满足

x2+2x+2

=

10

且0＜x≤2时，EQ=PQ，解得x=2；（1分）
（3）当x满足

x2+4

=

10

且0＜x≤2时，EP=PQ．
解方程得x=

6

，
∵

6

＞2，不合题意，舍去，（1分）
综上所述，当x=1或x=2时，△PEQ能成为等腰三角形．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，相似三角形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理与函数的结合运用．