题目内容

【题目】已知∠AOB为锐角,如图(1).
(1)若OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,∠MON=32°,∠COD=10°,如图(2)所示,求∠AOB的度数.
(2)若OM,OD,OC,ON是∠AOB的五等分线,如图(3)所示,以射线OA,OM,OD,OC,ON,OB为始边的所有角的和为980°,求∠AOB的度数.

【答案】
(1)解:∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,

∴∠AOM=∠COM,

同理:∠BON=∠DON,

∵∠MON=32°,∠COD=10°,∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD,

∴32°=∠COM+∠DON﹣10°,

∴∠COM+∠DON=42°,

∴∠AOM+∠BON=42°,

∵∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON,

∴∠AOB=42°+32°=74°


(2)解:设∠AOB被五等分的每个角为x°,则∠AOB=5x°,

以射线OA为始边的所有角的度数为x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°,

以射线OM,OD,OC,ON,OB为始边的所有角的度数分别为11x°,9x°,9x°11x°,15x°,

由题意得15x+11x+9x+9x+11x+15x=980,

解得x=14.

故∠AOB=5×14°=70°


【解析】(1)根据角平分线的定义容易得到,∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD,根据已知条件求得∠COM+∠DON=42°,即可求得∠AOM+∠BON=42°,从而求得∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON=74.(2)设∠AOB被五等分的每个角为x°,则∠AOB=5x°,分别表示出以射线OA、OM、OD、OC、ON、OB为始边的所有角的度数,根据题意列出关于x的方程,解方程求得x的值,即可求得∠AOB的度数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解角的平分线的相关知识,掌握从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线,以及对角的运算的理解,了解角之间可以进行加减运算;一个角可以用其他角的和或差来表示.

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