题目内容
【题目】已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．
（3）若点O点在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形还成立吗？请画图表示．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立；图形见解析.
【解析】
（1）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根据等角对等边的性质，即可得证；
（2）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC；
（3）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC．
（1）证明：如图1，
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，
理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，
过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180°﹣（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°﹣（∠OCB+∠FCO），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，
此时∠ABC和∠ACB不相等，
∴AB≠AC，
∴△ABC是等腰三角形不一定成立．
