Question

【题目】阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．

Answer 1

【答案】
（1）平行四边形
（2）解：四边形EFGH为菱形．理由如下：

连接AC与BD，如图2所示：

∵△AMD和△MCB为等边三角形，

∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，

∴∠AMC=∠DMB，

在△AMC和△DMB中，

，

∴△AMC≌△DMB（SAS），

∴AC=DB，

∵∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，

∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，

∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，

∴EF∥GH，EF=GH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

∵AC=DB，

∴EF=HE，

∴四边形EFGH为菱形．

【解析】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形； 理由如下：连接AC，如图1所示：

∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
所以答案是：平行四边形；