Question

在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD’E’（使∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC交于点O．

（1）如图1，当AC=BC时，AD′：BE′的值为

 

；
（2）如图2，当AC=5，BC=4时，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）AD′和BE′应该相等，可通过证△ACD′≌△BCE′来求解．这两个三角形中已知的条件有：∠ACD′和∠BCE′是一对等角的补角，因此这两角相等．然后证其他条件，由于AC=AB，DE∥AB，因此△CDE和△CD′E′都是等腰三角形，由此可得出AC=BC，CE′=CD′，由此满足了全等三角形的判定中SAS的条件，因此这两三角形全等，可得出AD′=BE′即它们的比为1；
（2）方法同（1）只不过线段相等换成了线段成比例，而三角形全等变成了三角形相似，根据相似三角形的对应线段成比例即可得出AD′、BE′的比例关系．
（3）如果过B作BM⊥AC于M，那么可根据∠ACB的度数和BC的长求出BM的值，由此可知：△OAB中，高BM是个定值，因此△OAB面积最小时，OA最小，那么此时OC最大．然后来求出此时OC的长，由题意可知，E′的运动轨迹是以C为圆心，CE′为半径的圆，而BE′总和圆C有交点，因此要想使OC最长，那么∠E′BC的度数就要最大，即此时BE′是圆C的切线，∠BE′C=90°，∠E′BC=30°（由于∠ACB=60°，因此∠E′BC的最大度数只能是30°），那么O与E′重合即可求出CE′和OC的长，而后可根据AC的长求出OA的长，根据三角形的面积公式即可求出此时△OAB的面积．

解答：解：（1）1

（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．∴

EC

BC

=

DC

AC

．
由旋转图形的性质得，EC=E′C，DC=D′C，
∴

E′C

BC

=

D′C

AC

．
∵∠ECD=∠E′CD′，
∴∠ECD+∠ACE′=∠E′CD′+∠ACE′即∠BCE′=∠ACD′．
∴△BCE′∽△ACD′．
∴

AD′

BE′

=

AC

BC

=

5

4

．

（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC•sin60°=2

3

．
∵E为BC中点，
∴CE=

1

2

BC=2．
△CDE旋转时，点E′在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动．
∵CO随着∠CBE′的增大而增大，
∴当BE′与⊙C相切时，即∠BE′C=90°时∠CBE′最大，
则CO最大．
∴此时∠CBE′=30°，CE′=

1

2

BC=2=CE．
∴点E′在AC上，即点E′与点O重合．
∴CO=CE′=2．
又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3．
∴S_△OAB最小=

1

2

AO•BM=3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，（3）中结合圆的知识来确定OA的长是解题的关键．