题目内容
【题目】综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．
解：∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝ ，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝ ，（ ）
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ ．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
【答案】（1）120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°（2）∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化，见解析；（3）30°
【解析】
（1）由AM∥BN，∠A=60°可得∠ABP+∠PBN=120°，再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB＝2∠ADB；
（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据∠ABN=120°，∠CBD=60°可得答案．
解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），
即∠APB＝2∠ADB．
（3）结论：∠ABC＝30°．
理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°
