题目内容
(2010•青浦区二模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、DC边的中点,AB=4,∠B=60°,(1)求点E到BC边的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥BC,垂足为M,过点M作MN∥AB交线段AD于点N,连接PN、探究:当点P在线段EF上运动时,△PMN的面积是否发生变化?若不变,请求出△PMN的面积;若变化,请说明理由.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428022_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)过E作EG⊥BC,垂足为G,由AB=4,E为AB的中点,得BE=2,又∠B=60°,解Rt△BEG可求EG,即为点E到BC边的距离;
(2)过点P作PH⊥MN,垂足为H,根据平行关系,垂直关系推出∠PMH=30°,解Rt△PMH可求PH,再由面积公式求△PMN的面积.
解答:解:(1)过E作EG⊥BC,垂足为G,由AB=4,E为AB的中点,得BE=2(1分)
Rt△EBG中,
,
;(2分)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428022_DA/images2.png)
(2)不变(1分)
解法(一):在梯形ABCD中,由AD∥BC,MN∥AB,得MN=AB=4(1分)
过点P作PH⊥MN,垂足为H(1分)
由MN∥AB得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°(1分)
由E、F是AB、DC边的中点得EF∥BC,由EG⊥BC,PM⊥BC,得EG∥PM
∴PM=EG=
(1分)
在Rt△PMH中,
,所以PH=PM
(2分)
∴
.(2分)
解法(二):延长MP交AD于点H,只要求出NH的长即可,评分标准可参考解法一.
点评:本题考查了解梯形问题的转化方法,一般是将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形来解题.
(2)过点P作PH⊥MN,垂足为H,根据平行关系,垂直关系推出∠PMH=30°,解Rt△PMH可求PH,再由面积公式求△PMN的面积.
解答:解:(1)过E作EG⊥BC,垂足为G,由AB=4,E为AB的中点,得BE=2(1分)
Rt△EBG中,
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(2)不变(1分)
解法(一):在梯形ABCD中,由AD∥BC,MN∥AB,得MN=AB=4(1分)
过点P作PH⊥MN,垂足为H(1分)
由MN∥AB得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°(1分)
由E、F是AB、DC边的中点得EF∥BC,由EG⊥BC,PM⊥BC,得EG∥PM
∴PM=EG=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428022_DA/2.png)
在Rt△PMH中,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428022_DA/3.png)
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∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428022_DA/5.png)
解法(二):延长MP交AD于点H,只要求出NH的长即可,评分标准可参考解法一.
点评:本题考查了解梯形问题的转化方法,一般是将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形来解题.
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练习册系列答案
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(2010•青浦区二模)某中学举行了一次“世博”知识竞赛,共有900名学生参加了这次竞赛、为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分都是正整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面局部尚未完成的频率分布表和频率分布直方图解答下列问题:
(1)频率分布表中的a=______,b=______;
(2)补全频率分布直方图;
(3)在该问题的样本中,样本中位数落在______组内;
(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校参加这次竞赛成绩优秀的约有______人.
频率分布表:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428020_ST/images0.png)
(1)频率分布表中的a=______,b=______;
(2)补全频率分布直方图;
(3)在该问题的样本中,样本中位数落在______组内;
(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校参加这次竞赛成绩优秀的约有______人.
频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
50.5-60.5 | 4 | 0.08 |
60.5-70.5 | a | 0.16 |
70.5-80.5 | 10 | 0.20 |
80.5-90.5 | 16 | 0.32 |
90.5-100.5 | 12 | b |
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230504011942886/SYS201310212305040119428020_ST/images0.png)