Question

已知：如图，在梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，点E在梯形内，点F在梯形外，，∠EDC=∠FBC，且DE=BF．
（1）判断△ECF的形状特点，并证明你的结论；
（2）若∠BEC=135°，求∠BFE的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）是等腰直角三角形，理由是作AH⊥CD于H，根据梯形ABCD得出AB∥CD，AH=BC，AB=CH，推出DH=CH，CD=2DH，由tan∠ADC=2，推出AH=2DH=CD=BC，根据SAS证出△EDC≌△FBC，推出CE=CF，∠ECD=∠FCB，证出∠ECF=∠BCD=90°即可得到答案；
（2）可求出∠CEF=45°，CE=EF，由已知，求出∠BEF=90°，=，设BE=，EF=4，根据勾股定理求出BF=，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解答：（1）答：是等腰直角三角形，
证明：作AH⊥CD于H，
∵梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°，
∴AB∥CD，
∴四边形AHCB是平行四边形，
∴AH=BC，AB=CH，
又∵，即CH+DH=2AB=2CH，
∴DH=CH，CD=2DH，
∵tan∠ADC==2，
∴AH=2DH=CD=BC，
在△EDC和△FBC中，
又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF，
∴△EDC≌△FBC
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB．
∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°，
∴∠FCB+∠ECB=90°，
即∠ECF=90°．
∴△ECF是等腰直角三角形．

（2）解：∵在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°，
∴∠CEF=45°，CE=EF，
又∵∠BEC=135°，=0.5，
∴∠BEF=90°，=，
不妨设BE=，EF=4，则由勾股定理得：BF=，
∴sin∠BFE===，
答：∠BFE的正弦值是．
点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．