题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=16，点E在AD边上，点F在BC边上，EF⊥AC，垂足点O是对角线AC的中点，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）点P在线段AC上，且2AE2=AP•AC，在图中画出点P的位置，说明画图方法，并求线段CP的长；
（3）动点M、N分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点M自A→F→B→A停止，点N自C→D→E→C停止．在运动过程中，点M的速度为每秒5个单位长度，点N的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）点P在线段AC上，且2AE2=AP•AC，在图中画出点P的位置，说明画图方法，并求线段CP的长；
（3）动点M、N分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点M自A→F→B→A停止，点N自C→D→E→C停止．在运动过程中，点M的速度为每秒5个单位长度，点N的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
分析：（1）根据中垂线的性质可以得出AE=CE，AF=CF，再根据矩形的性质可以而出△AEO≌△CFO，通过四边相等的四边形是菱形就可以得出结论；
（2）过点E作EP⊥AE于E，交AC于P，由相似三角形的性质就可以证明结论，设AE=x，则AF=CF=x，BF=16-x．在Rt△ABF中
由勾股定理就可以求出AE的值，AC的值，再根据2AE2=AP•AC建立方程就可以求出AP的值，从而求出CP；
（3）根据作图可以得出只有点M在FB上时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形可能是平行四边形，根据平行四边形的性质
CM=AN建立方程就可以求出t的值．
（2）过点E作EP⊥AE于E，交AC于P，由相似三角形的性质就可以证明结论，设AE=x，则AF=CF=x，BF=16-x．在Rt△ABF中
由勾股定理就可以求出AE的值，AC的值，再根据2AE2=AP•AC建立方程就可以求出AP的值，从而求出CP；
（3）根据作图可以得出只有点M在FB上时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形可能是平行四边形，根据平行四边形的性质
CM=AN建立方程就可以求出t的值．
解答：解：（1）∵EF⊥AC，垂足O是AC的中点，
∴AE=CE，AF=FC．AO=CO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO
∵在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）作法：过点E作EP⊥AE于E，交AC于P，
∴∠AEP=90°．
∵四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠AEP．
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴
=
，
∴AE2=AP•AO．
∵AO=
AC，
∴AE2=AP•
AC，
∴2AE2=AP•AC．
设AE=x，则AF=CF=x，BF=16-x．
在Rt△ABF中，
AB2+BF2=AF2，
∴64+（16-x）2=x2，
解得：x=10．
在Rt△ABC中，AC=8
．
∵2AE2=AP•AC，
∴2×100=8
AP，
AP=5
，
∴CP=AC-AP=3
．
（3）根据作图可以得出只有点M在FB上时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形可能是平行四边形．
∴CM=AN．
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
∴CM=CF+MF=AF+MF=5t，
∵AN=AD+CD-4t=16+8-4t=24-4t，
∴5t=24-4t，
t=
．
∴当t=
时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形．
∴AE=CE，AF=FC．AO=CO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO
∵在△AEO和△CFO中，
|
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）作法：过点E作EP⊥AE于E，交AC于P，
∴∠AEP=90°．
∵四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠AEP．
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴
| AE |
| AP |
| AO |
| AE |
∴AE2=AP•AO．
∵AO=
| 1 |
| 2 |
∴AE2=AP•
| 1 |
| 2 |
∴2AE2=AP•AC．
设AE=x，则AF=CF=x，BF=16-x．
在Rt△ABF中，
AB2+BF2=AF2，
∴64+（16-x）2=x2，
解得：x=10．
在Rt△ABC中，AC=8
| 5 |
∵2AE2=AP•AC，
∴2×100=8
| 5 |
AP=5
| 5 |
∴CP=AC-AP=3
| 5 |
（3）根据作图可以得出只有点M在FB上时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形可能是平行四边形．
∴CM=AN．
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
∴CM=CF+MF=AF+MF=5t，
∵AN=AD+CD-4t=16+8-4t=24-4t，
∴5t=24-4t，
t=
| 8 |
| 3 |
∴当t=
| 8 |
| 3 |
点评：本题考查了中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，菱形的判定及性质的运用，在解答本题时根据平行四边形的性质建立方程求解时解答本题的难点及关键．
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| ||
| B、a≥b | ||
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| ||
| D、a≥2b |
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