题目内容
【题目】如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．
（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；
（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）1.5；（2）3；（3）
【解析】
（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；
（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；
（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.
解：（1）当PQ⊥BC时，
BP=1.5x，BQ=6-x，
∴BQ=
，即6-x=
，
∴6-x=3x，
解得：x=1.5，
∴当x=1.5时，PQ⊥BC；
（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，
∴AQ=AM，BQ=CM，
PC=6-1.5x，CM=
，
∴BQ=12-3x，AQ=x，
∴12-3x+x=6，
解得x=3，
∴当点M落在AC上时，x=3（s）；
（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，
∵BQ=6-x，
∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，
y=S△BPQ-S△BPD
=
=
=
；
当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，
可知：四边形QDPM为矩形，
∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，
PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，
则y=S△PQM
=
=
=
；
当3＜x≤4时，
如图所示，过点Q作QE⊥BC于点E，
可知四边形QEPM为矩形，
∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-
（6-x）=2x-3，
∵QM∥BC，
∴△AQO为等边三角形，∠MON=∠C=60°，
∴AQ=OQ=AO=x，
∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，
∵PC=6-1.5x，∠C=60°，
∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=
，
∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-=
，
y=S△PQM-S△NOM
=
=-（x-3）（）
=
故y关于x的函数解析式为.
