题目内容

如图,已知二次函数y=x2+bx+3与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点A,O为坐标原点,P是二次函数y=x2+bx+3的图象上一个动点,点P的横坐标是m,且m>3,过点P作PM,PM交直线AB于M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切,求此时点M的坐标;
(3)在点P的运动过程中,△APM能否为等腰三角形?若能,求出点P的坐标;若不能请说出理由.
(1)将点B(3,0)坐标代入y=x2+bx+3得:0=9+3b+3,
解得b=-4,
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3;

(2)令x=0,则y=3,∴A点坐标为A(0,3),
直线AB的解析式为y=-x+3,
C为⊙C的圆心,CA=CB=
3
2
2

故C点坐标为(
3
2
3
2
),
过C作CD⊥PM于点D,CD=CA=CB=
3
2
2

∴D点坐标为(
3
2
(1+
2
)
3
2
),
xM=
3
2
(1+
2
)

将xM=
3
2
(1+
2
)
代入y=-x+3得yM=
3
2
(1-
2
)

∴点M的坐标为(
3
2
(1+
2
)
3
2
(1-
2
)
);

(3)若△APM为等腰三角形,进行分类讨论;
①当PA=PM时,P(m,m2-4m+3)则M(m,-m+3),
|PM|=|m2-3m|,|PA|=
m2+(m2-4m)2
,|AM|=
m2+(3+m-3)2
=m
2

由PA=PM可得|m2-3m|=
m2+(m2-4m)2

解得m=4,m2-4m+3=3,
则P点坐标为P(4,3),
②当PA=AM时,
m2+(m2-4m)2
=m
2

解得m=3,或m=5,
当m=3时,m2-4m+3=0,由题意可知m>3,故m=3不合题意;
当m=5时,m2-4m+3=8,
故点P坐标为(5,8),
③当PA=AM时,|m2-3m|=m
2

解得m=3+
2
或m=3-
2

由题意可知m>3,故m=3-
2
舍去,
当m=3+
2
时,m2-4m+3=2
2
+2,
故点P坐标为(3+
2
,2+
2
).
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