Question

用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则S_△ABC：S_{四边形ACDE}的值为（　　）

• A、1：2
• B、1：3
• C、（

  5

  -1）：2
• D、（3-

  5

  ）：2

Answer 1

分析：连接BD、CE，由于ABCDE是正五边形，那么首先求出∠BAC、∠BCA的度数，易知△ABC、△CDE的面积相等，因此只需比较△ABC、△ACE的面积即可；易得AB∥CE，那么△ABC、△ACE同高，则面积比等于底边的比，上面求得了∠ACE=∠BAC=36°，那么CE、AE的比例关系即可得出，进而求得△ABC与△ACE的面积比，也就得到了△ABC、四边形ACDE的面积比．

解答：解：如图；
由折叠的性质知：∠5=∠6；
∵正五边形ABCDE中，∠1=∠2=∠3=∠4，
∴设∠1=α，则∠5=∠6=2α；
则在△ABC中：α+α+α+2α=180°，即∠1=α=36°；
同理，∠ACE=∠1=36°，
则AB∥CE，且CE=

1+ 5

2

AE；
∴S_△AEC：S_△ABC=CE：AE=CE：AB=

1+ 5

2

：1；
设S_△ABC=1，则S_△CDE=S_△ABC=1，S_△AEC=

1+ 5

2

，S_{四边形ACDE}=S_△ACE+S_△CDE=

3+ 5

2

；
所以S_△ABC：S_{四边形ACDE}=1：

3+ 5

2

=（3-

5

）：2，
故选D．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及图形面积的求法；要注意的是顶角为36°的等腰三角形所含的特殊意义．