Question

【题目】在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．

【解析】

（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．

（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点

∴DE为的中位线，且

∴，

∵

∴

∵

∴

∴四边形DECF为矩形

∴

∴

则在中，；

（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG

∵

∴，

∵D是AB的中点

∴

在和中，

∴

∴，

又∵

∴DF是线段EG的垂直平分线

∴

∵，

∴

在中，由勾股定理得：

∴．