Question

如图，根据①所示的程序，得到了y与x的函数图象如②，点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q，连结OP、OQ，则以下结论：

①当x＜0时，y=

3

x

；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ不可能等于90°．其中正确的结论有

 

（只填序号，你认为正确序号都填上）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：根据题意得到当x＜0时，y=-

3

x

，当x＞0时，y=

6

x

，设P（a，b），Q（c，d），求出ab=-3，cd=6，求出△OPQ的面积是4.5；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-3，cd=6得到MQ=2PM；利用勾股定理得出∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．

解答：解：①由题意得出：x＜0，y=-

3

x

，∴故此选项①不正确；
②当x＜0时，y=-

3

x

，当x＞0时，y=

6

x

，
设P（a，b），Q（c，d），
则ab=-3，cd=6，
∴△OPQ的面积是

1

2

（-a）b+

1

2

cd=4.5，∴故此选项②正确；
③x＞0时，y=

6

x

=6•

1

x

，y随x的增大而减小，故此选项③错误；
④∵ab=-3，cd=6，
∴2MO×PM=MO×MQ，
∴MQ=2PM，
∴故此选项④正确；
⑤设PM=-a，则OM=-

3

a

．则P0²=PM²+OM²=（-a）²+（-

3

a

）²=（-a）²+

9

a2

，
QO²=MQ²+OM²=（-2a）²+（-

3

a

）²=4a²+

9

a2

，
当PQ²=PO²+QO²=（-a）²+

9

a2

+4a²+

9

a2

=5a²+

18

a2

=9a²
整理得：

18

a2

=4a²
∴a⁴=

9

2

，
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故此选项⑤错误；
正确的有②④．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．