Question

已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．
（1）求线段OA₂的长；
（2）若再以OA₂为边，按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…△OA_nB_n（如图）．求△OA₆B₆的周长．

Answer 1

（1）OA₂=

3

2

OA₁=

3

2

×（

3

2

OA）（2分）
=

3

4

OA=

3

4

a（4分）

（2）依题意，OA₁=

3

2

OA、OA₂=

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA
OA₃=

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA（6分）
以此类推，OA₆=（

3

2

）⁶OA=

27

64

OA=

27

64

a（8分）
即△OA₆B₆的周长=3OA₆=

81

64

a．（9分）