题目内容

如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OA=OB.
精英家教网(1)求b+c的值;
(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标.
分析:(1)根据已知得到B(0,c),A(-c,0),把A的坐标代入解析式即可求出答案;
(2)由平行四边形OABC得到BC=AO=c,点B的坐标为(0,c),根据平行四边形的性质得到C的坐标,把C的坐标代入解析式和b+c=1组成方程组,即可求出b、c的值,即得到抛物线的解析式;
(3)过点P作PM⊥y轴,PN⊥BC,垂足分别为M、N,根据角平分线的性质得到PM=PN,设点P的坐标为(x,-x2+
1
2
x+
1
2
)
,代入解析式即可求出P的坐标.
解答:解:(1)由题意得:点B的坐标为(0,c),其中c>0,OB=c,
∵OA=OB,点A在x轴的负半轴上,
∴点A的坐标为(-c,0),
∵点A在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴0=-c2-bc+c,
∵c>0,
∴两边都除以c得:0=-c-b+1,
b+c=1,
答:b+c的值是1.
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(2)解:∵四边形OABC是平行四边形
∴BC=AO=c,
又∵BC∥x轴,点B的坐标为(0,c)
∴点C的坐标为(c,c),
又点C在抛物线上,
∴c=-c2+bc+c
∴b-c=0或c=0(舍去),
又由(1)知:b+c=1,
b=
1
2
c=
1
2

∴抛物线的解析式为y=-x2+
1
2
x+
1
2

答:抛物线的解析式是y=-x2+
1
2
x+
1
2


(3)解:过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N,PM交BC的延长线于H,精英家教网

∵由(2)知BC∥x轴,PM⊥x轴,
∴PH⊥BC,
∵BP平分∠OBC,PN⊥y轴,PH⊥BC,
∴PN=PH,
设点P的坐标为(x,-x2+
1
2
x+
1
2
)

∴PN=x,ON=PM=-(-x2+
1
2
x+
1
2

∴BN=BO+ON=
1
2
-(-x2+
1
2
x+
1
2
),PN=x,
∴BN=PN,即
1
2
-(-x2+
1
2
x+
1
2
)=x

解得:x=
3
2
或x=0,
当x=
3
2
时,-x2+
1
2
x+
1
2
=-1,
∴点P的坐标为(1.5,-1),
当x=0时,-x2+
1
2
x+
1
2
=
1
2
,、
∴点P的坐标为(0,
1
2
),此时P和B重合,舍去,
答:点P的坐标是(1.5,-1).
点评:本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数上点的坐标特征,平行四边形的性质,角平分线的性质,解一元二次方程等知识点,能运用题中隐含的条件求二次函数的解析式是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度,但题型较好.
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