Question

【题目】在Rt△ACB中，C为直角顶点，∠ABC＝25°，O为斜边AB的中点，将OA绕着点O逆时针旋转α(0°＜α＜180°)到OP．当△BCP为等腰三角形时，α的度数为________．

Answer 1

【答案】50°或80°或65°

【解析】

如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×25°=50°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×40°=80°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=65°．

∵△BCP恰为轴对称图形，

∴△BCP是等腰三角形，

如图1，连接AP，

∵O为斜边中点，OP=OA，

∴BO=OP=OA，

∴∠APB=90°，

当BC=BP时，

∴∠BCP=∠BPC，

∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，

∴∠ACP=∠APC，

∴AC=AP，

∴AB垂直平分PC，

∴∠ABP=∠ABC=25°，

∴θ=2×25°=50°，

当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，

∵BC=CP，BO=PO，

∴CH垂直平分PB，

∴∠CHB=90°，

∵OB=OC，

∴∠BCH=∠ABC=25°，

∴∠CBH=65°，

∴∠OBH=40°，

∴θ=2×40°=80°，

当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，

∵∠ACB=90°，O为斜边中点，

∴OB=OC，

∴PG垂直平分BC，

∴∠BGO=90°，

∵∠ABC=25°，

∴θ=∠BOG=65°，

综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°，

故答案为：50°或65°或80°．