题目内容
【题目】问题情境
小明和小丽共同探究一道数学题：
如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD=65°，∠DAC=50°，AD=2，
求AC．
探索发现
小明的思路是：延长AD至点E，使DE=AD，构造全等三角形．
小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．
选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．
类比应用
如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，
AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC=67.5°，AO=2，则BC的长为___________．
【答案】
【解析】分析：探索发现:按照两个人的做题思路，作图，证明全等即可.
类比应用:参照探索发现的方法，进行求解即可.
详解：探索发现
小明的方法：
延长AD至点E，使DE=AD=2，如图．
∴AE=AD+DE=2+2=4．
∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD．
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD．
∴∠AEC=∠BAD=65°．
∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．
∴∠ACE=∠AEC．
∴AC=AE=4．
∴AC的长为4．
小丽的方法：
过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，如图．
∴∠DCE =∠ABD，∠AEC=∠BAD=65°．
∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．
∴∠ACE=∠AEC．
∴AC=AE．
∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD．
∴△ABD≌△ECD．
∴DE=AD=2．
∴AE=AD+DE=2+2=4．
∴AC=AE=4．
∴AC的长为4．
类比应用: 过点D作DE∥AB，交AD于点E，如图．
∴∠AED =∠DEC =∠BAC=90°，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-45°-67.5°=67.5°．
∴∠ACD=∠ADC．
∴AC=AD．
∵点O是边BD的中点，
∴BO=OD．
∴△ABO≌△EDO．
∴AO=OE=2．
∴AE=DE=AB=4．
∴
故答案为：.
