题目内容

【题目】如图:直线AB经过点A(0,3)点B( ,0),点M在y轴上,⊙M经过点A、B,交x轴于另一点C.

(1)求直线AB的解析式;
(2)求点M的坐标;
(3)点P是劣弧AC上一个动点,当P点运动时,问:线段PA,PB,PC有什么数量关系?并给出证明.

【答案】
(1)解:设直线AB的解析式为y=kx+b,

把点A(0,3)和点B( ,0)代入y+kx+b得到

解得

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+3


(2)解:如图1中,连接BM.设AM=BM=r.

在Rt△BMO中,

∵OM2+OB2=BM2,OM=3﹣r,OB=

∴(3﹣r)2+( 2=r2

∴r=2,

∴OM=3﹣2=1,

∴点M坐标为(0,1)


(3)解:结论:PB=PA+PC,理由如下:

如图2中,连接AC、在PB上截取PN=PC,连接CN.

∵OM⊥BC,

∴OC=OB,

∴AC=AB,

∵tan∠ABO= = =

∴∠ABC=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=CB,∠ACB=∠CAB=60°,

∴∠CPB=∠CAB=60°,∵PC=PN,

∴△PCN是等边三角形,

∴CP=CN,∠PCN=60°,

∴∠PCN=∠ACB=60°,

∴∠PCA=∠NCB,∵PC=CN,CA=CB,

∴△PCA≌△NCB,

∴PA=BN,

∵PB=PN+BN,PN=PC,BN=PA,

∴PB=PA+PC.


【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A(0,3)和点B( ,0)代入y+kx+b得到 解方程组即可.(2)如图1中,连接BM.设AM=BM=r.在Rt△BMO中,由OM2+OB2=BM2 , OM=3﹣r,OB= ,可得(3﹣r)2+( 2=r2 , 解方程即可.(3)结论:PB=PA+PC,如图2中,连接AC、在PB上截取PN=PC,连接CN.首先证明△ACB,△PCN都是等边三角形,再证明△PCA≌△NCB,推出PA=BN,由此即可解决问题.

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