题目内容

如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(0,4),C(2,0).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135º,得到矩形EFGH(点E与O重合).

(1)若GH交y轴于点M,则∠FOM=     ,OM=      
(2)将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
①直线GH与x轴交于点D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0<t≤4-2时,S与t之间的函数关系式.

详见解析.

解析试题分析:(1)由旋转可得出∠AOF=135°,再由矩形的内角为直角得到一个角为直角,利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度数,再由∠MOC为直角,由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度数;由∠MOF的度数为45°,利用两直线平行得到一对内错角相等,可得出三角形OHM为等腰直角三角形,由OH=MH=2,利用勾股定理即可求出OM的长;
(2)①如图所示,当AD与BO平行时,由AB与DO平行,利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABOD为平行四边形,由平行四边形的对边相等得到AB=DO=2,由平移可知:∠HEM=45°,可得出∠OMD=∠ODM=45°,即三角形ODM为等腰直角三角形,得到OD=OM,由OD的长求出OM的长,由三角形HEM为等腰直角三角形,且直角边长为2,利用勾股定理求出EM的长,用EM-OM即可求出平移的距离,即为t的值;
②分三种情况考虑:(i)如图1所示,当0<t<2时,重叠部分为等腰直角三角形,由平移的距离为t,得到等腰直角三角形直角边为t,利用三角形的面积公式即可表示出S;(ii)如图2所示,当时,重叠部分为直角梯形,表示出上底,下底及高,利用梯形的面积公式表示出S即可;(iii)如图3所示,当时,重叠部分为五边形,由梯形面积-三角形面积,表示出S即可.
试题解析:
解:(1)如图所示:

由旋转可得:∠AOF=135°,又∠AOC=90°,
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°,又∠MOC=90°,
∴∠FOM=45°,又OF∥HG,
∴∠OMH=∠FOM=45°,又∠H=90°,
∴△OHM为等腰直角三角形,
∴OH=HM=2,
则根据勾股定理得:
(2)①如图所示:连接AD,BO

∵AD∥BO,AB∥OD,
∴四边形ADOB为平行四边形,
∴DO=AB=2,
由平移可知:∠HEM=45°,
∴∠OMD=∠ODM=45°,
∴OM=OD=2,由平移可知:,∴矩形EFGH平移的路程
②分三种情况考虑:
(i)如图1所示,当0<t≤2时,重叠部分为等腰直角三角形,此时OE=t,则重叠部分面积

(ii)如图2所示,当时,重叠部分为直角梯形,
此时

(iii)如图3所示,当时,E点在A点下方,重叠部分为五边形,此时 

综上,
考点:相似形综合题;矩形的性质;平移的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质.

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