Question

如图，已知抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且Rt△AOC∽Rt△COB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：根据抛物线的解析式求得点C的坐标，然后由相似三角形的对应边成比例即可求得a的值，即抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3的解析式；然后由一元二次方程

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0的根与系数的关系可以求得AB的长度；最后根据三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．

解答：解：设抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与x轴的交点的坐标为A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵当x=0时，y=3，
∴抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与y的交点C的坐标为（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC²=OA•OB（相似三角形的对应边成比例），
∴OC²=x₁•x₂，即3²=

3

a

，
解得，a₁=

1

3

，或a₂=-

1

3

（不合题意，舍去），
故该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

4 3

3

x+3．
令y=0，则

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0，
解得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=9，
则AB=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点．注意，该题中a的符号需根据抛物线的开口方向来确定．