Question

【题目】如图1，已知点E在正方形ABCD的边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？请给出证明；

②在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG，

△AGE与△ECF全等；

（2）①若点E在线段BC上滑动时，AE=EF总成立．

证明：如图2，在AB上截取AH=EC，连接EH，

∵AB=BC，

∴BH=BE，

∴△HBE是等腰直角三角形，

∴∠AHE=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AHE=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AHE≌△ECF，

∴AE=EF；

②答：存在，如图3，

过D作DM⊥AE交AB于点M，

则有：DM∥EF，连接ME、DF，

∵在△ADM与△BAE中，，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EF，

∴MD=EF，

∵MD∥EF，

∴四边形DMEP为平行四边形．