题目内容
如图,已知在△ABC中,AB=AC,BC比AB大3,,点G是△ABC的重心,AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.
(1)求AG的长;
(2)当∠APQ=90º时,直线PG与边BC相交于点M.求的值;
(3)当点Q在边AC上时,设BP=,AQ=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.[
(1)AG=8;(2)=;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC,AD⊥BC,再根据sinB=,求出AB、BC、AD的值,从而求出AG的长;
(2)根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°,得出∠MGD=∠B,再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值,在△ABC中,根据AA求出△QCM∽△QGA,即可求出的值;
(3)过点B作BE∥AD,过点C作CF∥AD,分别交直线PQ于点E、F,则BE∥AD∥CF,得出,求出BE的值,同理可得出CF的值,最后根据BD=CD,求出EG=FG,即可得出CE+BE=2GD,从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域.
试题解析:
(1)在△ABC中,∵AB=AC,点G是△ABC的重心,
∴,AD⊥BC.
在Rt△ADB中,∵,∴.
∵, ∴AB=15,BC=18.
∴AD=12.
∵G是△ABC的重心,∴.
(2)在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°,
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.
∴,
在Rt△MDG中,∵,
∴,∴
在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴.
∵,
又∵,
∴,
又∵,
∴△QCM∽△QGA.
∴.
(3)过点作,过点作,分别交直线于点E、F,则.
∵,∴,即,
∴
同理可得:,即,
∴.
∵, ,∴.
∴,即.
∴,.
考点:相似形综合题.