题目内容
【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:△ADC≌△CEB;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)DE=AD-BE,理由见解析
【解析】
(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°,因为∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,推出∠DAC=∠BCE,根据AAS即可得到答案;
(2)与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,即可得到答案.
解:(1)证明:如图1,
∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
(2)结论:DE=AD-BE.
理由:如图2,∵BE⊥EC,AD⊥CE,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠EBC+∠ECB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECB+∠ACE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=EC-CD=AD-BE.