Question

如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．
求：（1）cos∠F的值；（2）BE的长．

Answer 1

解：（1）连接OE，
∵DF切半圆于点E，
∴∠OEF=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∵∠OEF=∠DAF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△OEF∽△DAF，
得===，
即AF=2EF，
又EF²=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=AB+BF=10．
cos∠F==；

（2）连接AE，由△BEF∽△EAF，得===，
设BE=k，则AE=2k，
根据AB是直径，故∠AEB=90°，
即AE²+BE²=AB²，
得（2k）²+k²=12²，
解得k=，
故BE=．
分析：（1）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F．
（2）由△BEF∽△EAF，和设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．
点评：此题涉及的知识点较多，由相似形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，综合性较强．