Question

已知关于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的两个实数根为x₁和x₂，若y=x1+x2+

1

2

x1x2

．
（1）当a≥0时，求y的取值范围；
（2）当a＜0时，比较y与-a²+3a-9的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先把方程化为一般式得到

1

4

x²+（a-2）x+a²=0，再利用判别式得到a≤1，根据根与系数的关系得到y=-4（a-2）+a=-3a+8，然后计算当0≤a≤1时对应的y的范围；
（2）当a＜0时，y=-4（a-2）-a=-5a+8，然后利用求差法比较大小．

解答：解：（1）

1

4

x²+（a-2）x+a²=0，
∵△=（a-2）2-4×

1

4

×a²≥0，
∴a≤1，
根据题意得x₁+x₂=-4（a-2），x₁x₂=4a²，
∵0≤a≤1，
∴y=-4（a-2）+a
=-3a+8
∴5≤y≤8；
（2）当a＜0时，y=-4（a-2）-a=-5a+8，
y-（-a²+3a-9）=-5a+8+a²-3a+9=（a-4）²+1，
∵（a-4）²+1＞0，
∴y＞-a²+3a-9．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．