Question

已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）当AB≠AC时，猜想四边形ADCE形状，并加以证明；

（2）如图，若添加“AB=AC”，其他条件不变，求证：四边形ADCE为矩形；

（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？（只需写出条件，不需证明）

Answer 1

解：（1）当AB≠AC时，四边形ADCE为直角梯形，
证明：∵AD平分∠BAC，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠DAC+∠CAE=90°，即∠DAE=90°
∵CE⊥AN，∴∠CEN=∠CEA=90°
∴∠DAE=∠CEN，∴AD∥EC，∵AD∥EC，AD≠CE，所以四边形ADCE为梯形，
又∠DAE=90°，所以是直角梯形．

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
由（1）可知，∠DAE=∠CEA=90°
∴四边形ADCE为矩形．

（3）例如，当AD=BC时，当∠BAC=90°时，当∠BCA=45°时，四边形ADCE均为正方形．
分析：（1）由题意可知，∠DAE=，即DA⊥AN，又CE⊥AN，但AN与BC关系不确定，只能判断其为两个角是直角的四边形，则第一问可解；
（2）增加AB=AC后可判断AN∥BC，故由（1）可知其为矩形；
（3）在矩形的基础上，再加上一组邻边相等就行，例如△ABC为等腰直角三角形．
点评：猜想要在一定的理论基础上进行，不可盲目胡乱猜想，另外要熟练掌握矩形的性质及判定定理．