Question

归纳与猜想：有若干个数，第一个数记为a₁，第二个数记为a₂，第3个数记为a₃，…，第n个数记为a_n．如果a₁=-

1

2

，从第2个数起，每一个数都等于1与它前面那个数差的倒数，试计算代数式4a₂₀₀₈²-3a₂₀₀₇a₂₀₀₉的值．

Answer 1

分析：由题意可表示出第二个数是

2

3

，第三个数为3，第四个数为-

1

2

，第五个为

2

3

，第六个为3…，由此可发现其是按每三个循环一次的方式出现，故可求得a₂₀₀₈，a₂₀₀₇，a₂₀₀₉这三个数的值，从而不难求得代数式的值．

解答：解：∵a₁=-

1

2

，从第2个数起，每一个数都等于1与它前面那个数差的倒数，
∴a₂=

1

1-(- 1 2 )

=

2

3

，a₃=

1

1- 2 3

=3，a₄=

1

1-3

=-

1

2

，a₅=

1

1-(- 1 2 )

=

2

3

，
a₆=3，…，a₂₀₀₇=3，a₂₀₀₈=-

1

2

，a₂₀₀₉=

2

3

；
∴4a₂₀₀₈²-3a₂₀₀₇a₂₀₀₉=4×

1

4

-3×3×

2

3

=1-6=-5．

点评：这是一道规律型题，要求学生要对所给的条件仔细分析找出存在的规律再解题即可．