Question

．(10分)(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

Answer 1

(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．
所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．
所以∠BAP＝∠CAQ．
所以△ABP≌△ACQ．……………………3分
②3……………………5分
(2)解法一：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以∠EFM＝∠EGN．
因为∠EFG＝∠EGF，
所以∠EGF＝∠EGN，
所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分
所以点E到直线FG和GN的距离相等，
所以点E到直线GN的距离是12．……………10分
解法二：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线GN的垂线，点K为垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以，∠EFM＝∠EGN．
可证明△EFH≌△EGK，……………………9分
所以，EH＝EK．
所以点E到直线GN的距离是12．………………10分
解法三：
把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．

由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF＝90°．
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，
所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
所以点E到直线GN的距离是12．
(酌情赋分)

略