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(2013年四川南充8分)如图,公路AB为东西走向,在点A北偏东36.5°方向上,距离5千米处是村庄M;在点A北偏东53.5°方向上,距离10千米处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).

(1)求M,N两村之间的距离;
(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离。
解:(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB。

在Rt△ACM中,∠CAM=36.5°,AM=5,
。∴CM=3,AC=4。
在Rt△ANE中, ∠NAE=90°-53.5°=36.5°,AN=10,
。∴NE=6,AE=8。
在Rt△MND中,MD=5,ND=2,
(km) 。
(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P,点P即为站点。
∴PM+PN=PM+PG=MG。
在Rt△MDG中, (km) ,
∴最短距离为 km 。
(1)过点M作CD∥AB,NE⊥AB,在Rt△ACM中求出CM,AC,在Rt△ANE中求出NE,AE,继而得出MD,ND的长度,在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度,
(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P,点P即为站点,求出MG的长度即可。
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