题目内容

【题目】如图,已知l1⊥l2 , ⊙O与l1 , l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1 , l2重合,AB=4 cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)

(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为°;
(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1 , A1 , C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);
(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).

【答案】
(1)105
(2)解:

如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设⊙O1与l1的切点为E,

连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1

在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4

∴tan∠C1A1D1= ,∴∠C1A1D1=60°,

在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60°,

∴A1E= =

∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,

∴t﹣2=

∴t= +2,

∴OO1=3t=2 +6


(3)解:

①当直线AC与⊙O第一次相切时,设移动时间为t1

如图位置一,此时⊙O移动到⊙O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,

设⊙O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2

∴O2F⊥l1,O2G⊥A2C2

由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°,

∴∠O2A2F=60°,

在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=

∵OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+

∴4t1+ ﹣3t1=2,

∴t1=2﹣

②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2

记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时位置二,第二次相切时为位置三,

由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,

+2﹣(2﹣ )=t2﹣( +2),

解得:t2=2+2

综上所述,当d<2时,t的取值范围是:2﹣ <t<2+2


【解析】解:(1)∵l1⊥l2 , ⊙O与l1 , l2都相切, ∴∠OAD=45°,
∵AB=4 cm,AD=4cm,
∴CD=4 cm,
∴tan∠DAC= = =
∴∠DAC=60°,
∴∠OAC的度数为:∠OAD+∠DAC=105°,
故答案为:105;
(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;(3)①当直线AC与⊙O第一次相切时,设移动时间为t1 , ②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2 , 分别求出即可.

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