Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如下操作（每次折叠后均展开）．

如图①，第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交与点O1，设O1D的中点为D1；

如图②，第二次将纸片折叠，使点B与点D1重合，折痕与BD交与点O2，设O2D3的中点为D2；

如图③，第三次将纸片折叠，使点B与点D2重合，折痕与BD交与点O3，设O3D2的中点为D3；

…

根据以上操作结果，回答下列问题：

（1）如图①，MN是折痕，求证：△DA′M≌△DCN；

（2）分别求出线段BO1、BO2、BO3的长，并直接写出第n次折叠后BOn的长（用含n的式子表示）；

（3）如图②，第二次折叠时，折痕一定会经过点A吗？请通过计算判断．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、BOn=；(3)、证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、首先证明DM=DN，再根据AAS即可判断；(2)、根据题意求出BO1、BO2、BO3，寻找规律后即可解决问题；(3)、结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．作AE⊥BD垂足为E，求出BE的长，证明点E与点O2重合即可．

试题解析：(1)、如图①中，

∵四边形MNDA′是由四边形MNBA翻折得到，∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BNM=∠DMN=∠DNM，∴DM=DN，∵∠A′DN=∠ADC，∴∠A′DM=∠NDC，

在△DA′M和△DCN中，，∴△DMA′≌△DNC．

(2)、如图③中，

，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB=CD=，BC=AD=，∴BD===4，

∵BO1=O1D=BD=2=，BO2=BD1==，BO3=BD2==，

…BOn=．

(3)、如图②中，结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．

理由：作AE⊥BD垂足为E．

∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD，∴△ABE∽△DBA，∴=，∴=，

∴BE=，∵BO2=，∴点E与点O2重合，∴第二次折叠时，折痕一定会经过点A．