题目内容

(2012•拱墅区二模)已知△ABC中,∠A=α.在图(1)中∠B、∠C的角平分线交于点O1,则可计算得∠BO1C=90°+
1
2
α
;在图(2)中,设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C=
60°+
2
3
α
60°+
2
3
α
;请你猜想,当∠B、∠C同时n等分时,(n-1)条等分角线分别对应交于O1、O2,…,On-1,如图(3),则∠BOn-1C=
(n-1)α
n
+
180°
n
(n-1)α
n
+
180°
n
(用含n和α的代数式表示).
分析:根据三角形的内角和等于180°用α表示出(∠ABC+∠ACB),再根据三等分的定义求出(∠O2BC+∠O2CB),在△O2BC中,利用三角形内角和定理列式整理即可得解;
根据三角形的内角和等于180°用α表示出(∠ABC+∠ACB),再根据n等分的定义求出(∠On-1BC+∠On-1CB),在△On-1BC中,利用三角形内角和定理列式整理即可得解.
解答:解:在△ABC中,∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线,
∴∠O2BC+∠O2CB=
2
3
(∠ABC+∠ACB)=
2
3
(180°-α)=120°-
2
3
α;
∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-(120°-
2
3
α)=60°+
2
3
α;

在△ABC中,∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线,
∴∠On-1BC+∠On-1CB=
n-1
n
(∠ABC+∠ACB)=
n-1
n
(180°-α)=
180°(n-1)
n
-
(n-1)α
n

∴∠BOn-1C=180°-(∠On-1BC+∠On-1CB)=180°-(
180°(n-1)
n
-
(n-1)α
n
)=
(n-1)α
n
+
180°
n

故答案为:60°+
2
3
α;
(n-1)α
n
+
180°
n
点评:本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,以及三等分线,n等分线的定义,整体思想的利用是解题的关键.
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