题目内容
（2004•河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）
A．
米B．
米C．b米
D．a米
【答案】分析：根据CM=CN以及∠MCN的度数可得到△CMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
解答：
解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，△CNM为等边三角形（180-45-75=60°，梯子长度相同
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°-45°=15°，
∴cos15°=
，
又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°，
∴cos15°=
，
故可得：
=
．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故选D．
点评：此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键．
解答：
解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，△CNM为等边三角形（180-45-75=60°，梯子长度相同
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°-45°=15°，
∴cos15°=
，又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°，
∴cos15°=
，故可得：
=．∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故选D．
点评：此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键．
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