Question

（2004•河南）如图，边长为3的正△ABC中，M、N分别位于AC、BC上，且AM=1，BN=2．过C、M、N三点的圆交△ABC的一条对称轴于另一点0．求证：点O是正△ABC的中心．

Answer 1

【答案】分析：连接AO，由于正三角形ABC的边长为3，故求得AM=CN=1，由CO是正△ABC的一条对称轴?∠ACO=∠NCO，由圆周角定理知，MO=NO，又由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠AMO=∠CNO，可由SAS证得，△AMO≌△CNO?∠MAO=∠NCO=30°，即点O是正△ABC两个内角平分线的交点，所以点O是正△ABC的中心．
解答：证明：如图，连接AO，（1分）
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1，
∵CD是正△ABC的一条对称轴，
∴∠ACO=∠NCO．
∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．（5分）
∴∠MAO=∠NCO=30°．
∴O是正△ABC两个内角平分线的交点．
∴点O是正△ABC的中心．（7分）
点评：本题利用了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．