题目内容

(1997•天津)如图,点I是△ABC的内心,AI交BC边于D,交△ABC的外接圆于点E.
求证:(1)IE=BE;
      (2)IE是AE和DE的比例中项.
分析:(1)连接BI,根据I是△ABC的内心,得出∠1=∠2,∠3=∠4,再根据∠BIE=∠2+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,得出∠BIE=∠IBE,即可证出IE=BE.
(2)根据(1)可得∠2=∠1=∠5,∠E=∠E,则△AEB∽△BED,
AE
BE
=
BE
DE
,再根据BE=IE,可得出
AE
IE
=
IE
DE
,即可证出IE是AE和DE的比例中项.
解答:证明:(1)连接BI,
∵I是△ABC的内心,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BIE=∠1+∠3,
∠IBE=∠5+∠4,
而∠5=∠1=∠2,
∴∠BIE=∠IBE,
∴IE=BE.

(2)根据(1)可得:
∵∠2=∠1=∠5,∠E=∠E,
∴△AEB∽△BED,
AE
BE
=
BE
DE

∵BE=IE,
AE
IE
=
IE
DE

∴IE是AE和DE的比例中项.
点评:此题考查了三角形的内切圆与内心,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、三角形的内心,关键是做出辅助线、证出三角形相似.
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