题目内容
(1997•天津)如图,已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,交y轴负半轴于C点,∠ACB=90°且
-
=
.求△ABC外接圆的面积.
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OA |
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OB |
2 |
OC |
分析:设A(x1,0),B(x2,0),C(0,q),其中q<0,由图可知,x1<0,x2>0,由射影定理可得OC2=AO•OB,再由OC=丨q丨,AO•OB=丨x1•x2丨=丨q丨可求出q=-1,根据
-
=
可知
=
,
再由OB-OA=x2-(-x1)=x1+x2=OA•OB=|q|2=1,OC=|q|=1可得出q的值,故可得出抛物线的解析式,令y=0可求出x1,x2的值,AB=x2-x1可求出AB的长,故可得出△ABC的外接圆的半径,进而即可得出结论.
1 |
OA |
1 |
OB |
2 |
OC |
OB-OA |
OA•OB |
2 |
OC |
再由OB-OA=x2-(-x1)=x1+x2=OA•OB=|q|2=1,OC=|q|=1可得出q的值,故可得出抛物线的解析式,令y=0可求出x1,x2的值,AB=x2-x1可求出AB的长,故可得出△ABC的外接圆的半径,进而即可得出结论.
解答:解:设A(x1,0),B(x2,0),C(0,q),其中q<0,由图可知,x1<0,x2>0,
令x2+px+q=0,则x1•x2=q,
∵∠ACB=90°,OC⊥AB,
∴OC2=AO•OB.
∵OC=丨q丨,AO•OB=丨x1•x2丨=丨q丨,
∴丨q丨2=丨q丨.
∵q<0,
∴丨q丨=1,q=-1.
∵
-
=
,
∴
=
,
又∵OB-OA=x2-(-x1)=x1+x2=OA•OB=|q|2=1,OC=|q|=1,
∴-p=2,p=-2,
∴y=x2-2x-1,
令y=0,所以x2-2x-1=0,
解得x1=1-
,x2=1+
,
∴AB=x2-x1=(1+
-1+
)=2
.
∴△ABC的外接圆的半径=
,
∴△ABC的外接圆的面积=π(
)2=2π.
令x2+px+q=0,则x1•x2=q,
∵∠ACB=90°,OC⊥AB,
∴OC2=AO•OB.
∵OC=丨q丨,AO•OB=丨x1•x2丨=丨q丨,
∴丨q丨2=丨q丨.
∵q<0,
∴丨q丨=1,q=-1.
∵
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OA |
1 |
OB |
2 |
OC |
∴
OB-OA |
OA•OB |
2 |
OC |
又∵OB-OA=x2-(-x1)=x1+x2=OA•OB=|q|2=1,OC=|q|=1,
∴-p=2,p=-2,
∴y=x2-2x-1,
令y=0,所以x2-2x-1=0,
解得x1=1-
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2 |
∴AB=x2-x1=(1+
2 |
2 |
2 |
∴△ABC的外接圆的半径=
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∴△ABC的外接圆的面积=π(
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点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到根与系数的关系、射影定理及直角三角形的性质,难度适中.
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