题目内容
如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x,y=-
x+6的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式.
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是______.
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(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式.
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是______.
(1)由
可得
,
∴A(4,4);
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为(
t,
t),
点Q的纵坐标为
t,并且点Q在y=-
x+6上,
∴
t=-
x+6,x=12-
t,
即点Q坐标为(12-
t,
t),PQ=12-
t,
当12-
t=
t时,t=3
,
当0<t≤3
时,S=
t(12-
t)=-
t2+6
t,
当点P到达A点时,t=4
,
当3
<t<4
时,S=(12-
t)2,
=
t2-36
t+144;
(3)有最大值,最大值应在0<t≤3
中,
S=-
t2+6
t=-
(t2-4
t+8)+12=-
(t-2
)2+12,
当t=2
时,S的最大值为12;
(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,
∵B的坐标为(12,0),PB⊥OB,
∴PB=OB=12,
∴OP=12
,
∴t≥12
.
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∴A(4,4);
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为(
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点Q的纵坐标为
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∴
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即点Q坐标为(12-
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3
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当12-
3
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当0<t≤3
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3
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3 |
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当点P到达A点时,t=4
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当3
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3
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=
9 |
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(3)有最大值,最大值应在0<t≤3
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S=-
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当t=2
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(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,
∵B的坐标为(12,0),PB⊥OB,
∴PB=OB=12,
∴OP=12
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∴t≥12
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