题目内容
【题目】如图,菱形ABCD中,对角线AC , BD相交于点O , 且AC=6cm,BD=8cm,动点P , Q分别从点B , D同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿B→C→D运动,到点D停止,点Q沿D→O→B运动,到点O停止1s后继续运动,到点B停止,连接AP , AQ , PQ . 设△APQ的面积为y(cm2)(这里规定:线段是面积0的几何图形),点P的运动时间为x(s).
(1)填空:AB=cm,AB与CD之间的距离为cm;
(2)当4≤x≤10时,求y与x之间的函数解析式;
(3)直接写出在整个运动过程中,使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值.
【答案】
(1)5;
(2)解:设∠CBD=∠CDB=θ,则易得:sinθ= ,cosθ=
.
①当4≤x≤5时,如答图1﹣1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上.
∵PB=x,
∴PC=BC﹣PB=5﹣x.
过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PCcosθ= (5﹣x).
∴y=S△APQ= QAPH=
×3×
(5﹣x)=﹣
x+6;
②当5<x≤9时,如答图1﹣2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上.
PC=x﹣5,PD=CD﹣PC=5﹣(x﹣5)=10﹣x.
过点P作PH⊥BD于点H,则PH=PDsinθ= (10﹣x).
∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD
=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣(S△BCD﹣S△PQD)﹣S△APD
= ACBD﹣
BQOA﹣(
BDOC﹣
QDPH)﹣
PD×h
= ×6×8﹣
(9﹣x)×3﹣[
×8×3﹣
(x﹣1)
(10﹣x)]﹣
(10﹣x)×
=﹣ x2+
x﹣
;
③当9<x≤10时,如答图1﹣3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.
y=S△APQ= AB×h=
×5×
=12.
综上所述,当4≤x≤10时,y与x之间的函数解析式为:
y=
(3)解:有两种情况:
①若PQ∥CD,如答图2﹣1所示.
此时BP=QD=x,则BQ=8﹣x.
∵PQ∥CD,
∴ ,
即 ,
∴x= ;
②若PQ∥BC,如答图2﹣2所示.
此时PD=10﹣x,QD=x﹣1.
∵PQ∥BC,
∴ ,
即 ,
∴x= .
综上所述,满足条件的x的值为 或
.
【解析】解:(1)∵菱形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm, ∴AC⊥BD,
∴AB= =
=5,
设AB与CD间的距离为h,
∴△ABC的面积S= ABh,
又∵△ABC的面积S= S菱形ABCD=
×
ACBD=
×6×8=12,
∴ ABh=12,
∴h= =
.
(1)根据勾股定理即可求得AB,根据面积公式求得AB与CD之间的距离.(2)当4≤x≤10时,运动过程分为三个阶段,需要分类讨论,避免漏解:①当4≤x≤5时,如答图1﹣1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上;②当5<x≤9时,如答图1﹣2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上;③当9<x≤10时,如答图1﹣3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.(3)有两种情形,需要分类讨论,分别计算:①若PQ∥CD,如答图2﹣1所示;②若PQ∥BC,如答图2﹣2所示.
