题目内容
【题目】在矩形
中，点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，顺次连接
所得的四边形我们称之为中点四边形，如图．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）设的中点四边形是
，的中点四边形是
…．
的中点四边形是
，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？ （填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性 ；
（3）进一步：如果我们规定：矩形
，菱形
，并将矩形的中点四边形用
表示；菱形的中点四边形用
表示，由题（1）知，
，那么
．
【答案】（1）见解析；（2）有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形；（3）菱形的中点四边形为矩形可以表示为：
．
【解析】
（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．
（1）证明：连接
、
，
点
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点，
，同理
，
，
，
又在矩形
中，
，
，
四边形
是菱形．
（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．
（3）解：矩形的中点四边形为菱形，
即：
，
菱形的中点四边形为矩形可以表示为：．
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