Question

（1）问题探究
数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．
如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°．
同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程；
（2）结论应用
李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：
①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线；
②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据条件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理就可以求出结论；
（2）①连接OD，CD，由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a，再由条件就可以得出△ODC是等边三角形，由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°，从而得出∠ODB=90°而得出结论；
②运用（1）的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°，从而有△ADB∽△AEC，由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比平方，最后由锐角三角形函数值就可以求出结论．
解答：解：（1）问题研究，∵M为BC的中点，
∴BM=CM=BC．
∵MA=BC，
∴BM=CM=MA，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠BAC=90°；

（2）①连接OD，CD，
∴AO=OD=OC=a，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°．
∵OB=2a，
∴BC=a，
∴BC=DC，
∴∠B=∠BDC，
∴2∠BDC=60°，
∴∠BDC=30°，
∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°，
∴直线BD是⊙0的切线
②∵M为BC的中点，BD⊥AC于D，
∴DM=BC．
∵EM=DM，
∴EM=BC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADB=∠ACE=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
∴．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）²．
∵cos∠A=，且∠A=60°，
∴，
∴=．
∴△ADE与△ABC面积的比值为．
点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，切线的判定方法的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质结合三角函数值求解是难点．