题目内容
数学课上，张老师给出了问题：如图（1），△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：由△ABP≌△BCD，从而得出AP=BD．
在此基础上，同学们作了进一步探究：
（1）小颖提出：如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（2）小华提出：如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程．
分析：（1）根据提示的思路，证明△ABP和△BCD全等，再根据全等三角形对应角相等得∠APB=∠BDC，因为∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，所以∠BDC+∠DAQ=60°；
（2）过D作DG∥AB交BC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证明DG=CD=BP，然后证明△DGE和△PBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．
（2）过D作DG∥AB交BC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证明DG=CD=BP，然后证明△DGE和△PBE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．
解答：解：（1）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
∵
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（2）小华的观点正确．
过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
∵
，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=EP．
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
∵
|
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（2）小华的观点正确．
过点D作DG∥AB交BC于点G，∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
∵
|
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=EP．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；题目属于信息给予题，读懂题目提供的信息，根据所提供的思路寻找条件是完成题目证明的关键，也是解答题目的捷径和最简洁的思路，主要运用三角形全等的判定和全等三角形的性质．
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